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天天速遞!x2-dy2=-1有多少整數(shù)解?近30年無人解開的數(shù)學(xué)難題有答案了

時(shí)間:2022-08-21 08:25:02 來源: 量子位


在此之前,經(jīng)典佩爾方程的整數(shù)解情況已得到證明:


(資料圖片)

當(dāng)d≤0或d為某大于0的完全平方數(shù)時(shí),該方程有唯一解:x=±1,y=0;當(dāng)d>0且不是完全平方數(shù)時(shí),該方程有無數(shù)組正整數(shù)解。

不過數(shù)學(xué)家們的探究精神一般不會(huì)止步于此。

有人提出將等號(hào)右邊的1變成-1,并將這個(gè)新的方程稱為 負(fù)佩爾方程( II型佩爾方程) ,結(jié)果整數(shù)解的情況立刻變得復(fù)雜了許多。

時(shí)間撥到1993年,當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家彼得·史蒂文哈根 (Peter Stevenhargen) 提出了一個(gè)公式,對負(fù)佩爾方程的整數(shù)解情況給出一個(gè)精確的答案。

而這個(gè)猜想提出后的 30年,數(shù)學(xué)界一直無法證明它的正確性。

但現(xiàn)如今,來自康考迪亞大學(xué)的卡羅·帕加諾 (Carlo Pagano) 和密歇根大學(xué)的皮特·科伊曼斯 (Peter Koymans) ,終于給出了猜想的“正解”。

帕加諾的導(dǎo)師Hendrik Lenstra教授甚至對此評(píng)價(jià)說:

這個(gè)成果為數(shù)論的一個(gè)分支開辟了新篇章。

數(shù)論中的經(jīng)典:佩爾方程

在介紹負(fù)佩爾方程之前,讓我們先來了解一下經(jīng)典的佩爾方程從何而來。

佩爾方程,其實(shí)與佩爾完全無關(guān)。

這一理論最早由費(fèi)馬 (Pierre de Fermat)進(jìn)行深入研究,由拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange)給出解決方案,但后來因?yàn)楸粴W拉 (Leonhard Euler)誤記為佩爾提出,就陰差陽錯(cuò)的流傳下來。

它的具體形式為:x 2 -d*y 2 =1

當(dāng)d是正整數(shù)且不是完全平方數(shù),則存在無窮多個(gè)解。

舉個(gè)例子,數(shù)學(xué)史上有個(gè)經(jīng)典的“阿基米德群牛問題”:

太陽神養(yǎng)了一群牛,這些牛有公有母,分白色、黑色、黃色和花色四種顏色,給定一系列條件,求解牛的總數(shù)有多少?各種顏色的牛分別是多少?

這個(gè)問題起一直以來吸引了很多數(shù)學(xué)家的興趣,最后經(jīng)過一系列計(jì)算,被演化為求解一個(gè)佩爾方程:

2000年,倫斯查 (Lenstra)完全解決了這個(gè)問題,他得出了阿基米德群牛問題的所有解:

不僅解的數(shù)量多,牛的最小數(shù)量也讓人驚呼:或許只有真·太陽神才能管理了。

不同于佩爾方程,負(fù)佩爾方程的整數(shù)解情況要復(fù)雜得多。

負(fù)佩爾方程

前文提到,負(fù)佩爾方程可表示為: x 2 -d*y 2 =-1 ;d為整數(shù)。

顯然,當(dāng)d≤0,以及d為大于1的完全平方數(shù)時(shí),方程無整數(shù)解。

此外,負(fù)佩爾方程的整數(shù)解復(fù)雜性還體現(xiàn)在:

負(fù)佩爾方程中的很多d值都無整數(shù)解。據(jù)已知規(guī)則得出,d不能是3、7、11、15的倍數(shù)等。

但除了這些值外,并不是其他的d值就一定有整數(shù)解。

例如當(dāng)d=3時(shí),x 2 –3*y 2 =-1,無論沿著數(shù)軸看多遠(yuǎn),都永遠(yuǎn)找不到解。

但事實(shí)上,排除3、7、11、15的倍數(shù)后,并不是取其他的d值,負(fù)佩爾方程就一定有整數(shù)解。

給定d值后,首先需要求出負(fù)佩爾方程的基本解。

對負(fù)佩爾方程的求通解可使用這個(gè)公式:

其中,這里的n為任意正整數(shù);a和b則是負(fù)佩爾方程的基本解,并有如下等式:

x 0 和y 0 就是經(jīng)典佩爾方程的基本解。

更多與之相關(guān)的細(xì)節(jié)研究可參考論文:

研究者簡介

最后,來看看這兩位證明這個(gè)30年前猜想的數(shù)學(xué)家們吧——

卡羅·帕加諾 (Carlo Pagano) ,是加拿大康考迪亞大學(xué)的助理教授,主要研究方向是數(shù)論。

此前分別獲得了格拉斯哥大學(xué)和馬克斯·普朗克研究所的數(shù)學(xué)博士后學(xué)位,博士畢業(yè)于萊頓大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè),導(dǎo)師是Hendrik Lenstra。

皮特·科伊曼斯 (Peter Koymans) ,目前正在密歇根大學(xué)攻讀博士后,主要研究方向是數(shù)論及其周邊領(lǐng)域。

此前在馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)研究所從事博士后研究,博士畢業(yè)于萊頓大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè),導(dǎo)師是Jan-Hendrik Evertse和Peter Stevenhagen。

可以看出,兩人的學(xué)習(xí)軌跡有很多重合的部分,不僅如此,他們在研究生時(shí)期也是同學(xué)。

為了這項(xiàng)研究,兩人整整一年天天見面,每天在黑板上進(jìn)行各種演算,互相完善對方提出來的想法,就連午餐時(shí)間都不放過,如果有人在獨(dú)處時(shí)有了新想法,就會(huì)隨時(shí)發(fā)短信通知另一個(gè)人。

盡管非常有挑戰(zhàn)性,科伊曼斯卻在回憶起這段時(shí)間時(shí)說:“我們一起做這件事很有趣。”


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