全球視點(diǎn)！“三體”運(yùn)動(dòng)為什么不能精確預(yù)測(cè)？

動(dòng)力系統(tǒng)研究系統(tǒng)的狀態(tài)或性質(zhì)在一套固定規(guī)則下如何更迭變化。當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)與狀態(tài)變化規(guī)則已知，理論上可得之后任一時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，但實(shí)際上由于對(duì)初始條件的測(cè)量存在誤差，以及計(jì)算過(guò)程中對(duì)數(shù)值的約算，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)被畫(huà)上問(wèn)號(hào)。

【資料圖】

本文試著回答以下幾個(gè)問(wèn)題：如何對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行分析？存在不可預(yù)測(cè)的動(dòng)力系統(tǒng)嗎？導(dǎo)致不可預(yù)測(cè)的原因是什么？希望幫助大家對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)有更深的理解。

一、戀愛(ài)動(dòng)力學(xué)：羅密歐與朱麗葉的愛(ài)恨情仇

高中時(shí)我們都有學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)，對(duì)于：一定不陌生。

表示 R 隨時(shí)間 t 的變化，所以當(dāng)我們知道 f，也就知道了 R 的變化規(guī)則，且該規(guī)則是固定不變的。在這樣的情況下，只要該系統(tǒng)的初始條件已知，理論上我們就能夠利用這個(gè)變化規(guī)則 f 推導(dǎo)出之后任一時(shí)刻的 R。上述過(guò)程就是我們?nèi)シ治觥㈩A(yù)測(cè)一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的基本思路，但這個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)僅包含一個(gè)變量 R 的一維系統(tǒng)，并沒(méi)有其他變量與其進(jìn)行交互，所以略顯單調(diào)。

下面我們加入一個(gè)新變量 J 到系統(tǒng)中，給兩個(gè)變量賦予含義，并且讓他們之間產(chǎn)生互動(dòng)，從而使我們的系統(tǒng)豐富起來(lái)。

我們假設(shè)此時(shí)愛(ài)可以量化， R 表示羅密歐愛(ài)朱麗葉的程度，J 表示朱麗葉愛(ài)羅密歐的程度，而他們雙方愛(ài)意的變化遵從這個(gè)規(guī)則：

其中 a、d、c、d 為任意常數(shù)。

當(dāng) a、d、c、d 取值組合不同，最終會(huì)使得 R 和 J 隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)不同的樣態(tài)。比如當(dāng)四個(gè)常數(shù)取值，可以得到羅密歐與朱麗葉的愛(ài)意隨時(shí)間變化的圖像如下圖所示：

根據(jù)圖我們不難發(fā)現(xiàn)，在這段關(guān)系中，一方的愛(ài)意大小會(huì)對(duì)另一方的愛(ài)意的變化產(chǎn)生影響，而如何影響是由 a、 d、 c、d 取值決定。針對(duì)上例中取值狀況，我們?nèi)粝脒M(jìn)一步分析二人的愛(ài)意對(duì)對(duì)方的影響，不妨變換坐標(biāo)，以 R 為橫軸，J 為縱軸，得到兩人愛(ài)意動(dòng)力系統(tǒng)的相圖：

如何分析該圖呢？我們?nèi)∮疑戏絽^(qū)域放大，按黃色箭頭方向來(lái)看，當(dāng)羅密歐的愛(ài)意上升時(shí)，朱麗葉的愛(ài)意會(huì)下降，以同樣的方法去分析另外三個(gè)部分，即可了解二人的愛(ài)意對(duì)對(duì)方的影響。

取不同 a、d、c、d，會(huì)得到不同的雙方愛(ài)意變化規(guī)則，如下圖所示，再根據(jù)二人愛(ài)意的初始值，可得到之后任一時(shí)刻，兩人對(duì)對(duì)方的愛(ài)意數(shù)值，并且根據(jù)兩人愛(ài)意變化的規(guī)則，編出二人間不同的愛(ài)情故事。

上述過(guò)程告訴我們，當(dāng)系統(tǒng)遵循不同的變化規(guī)則，會(huì)使得系統(tǒng)相圖呈現(xiàn)出不同樣態(tài)，取不同樣態(tài)間的共性，我們可以將相圖根據(jù)其收斂方向、形態(tài)等特點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，并根據(jù)系統(tǒng)相圖所屬的種類(lèi)的特點(diǎn)，對(duì)該系統(tǒng)的發(fā)展有定性了解。

二、混沌：三體運(yùn)動(dòng)不能精確求解

現(xiàn)在，我們?cè)俳o系統(tǒng)內(nèi)加一個(gè)主體，并且讓他們之間存在非線(xiàn)性關(guān)系，也就是變化規(guī)則中存在非線(xiàn)性項(xiàng)，這就進(jìn)入到了所謂的 " 三體問(wèn)題 "，事實(shí)上這個(gè)問(wèn)題早在幾百多年前就被提出。

1885 年，在剛創(chuàng)刊不久的瑞典數(shù)學(xué)雜志上出現(xiàn)了一則引人注目的通告：為了慶祝瑞典和挪威國(guó)王奧斯卡二世在 1889 年的六十歲生日，將舉辦一次數(shù)學(xué)比賽，懸賞 2500 克朗和一塊金牌，比賽題目共有四個(gè)，其中第一個(gè)就是找到 " 多體問(wèn)題 " 的所有解。而多體問(wèn)題，又可追溯至 17 世紀(jì)晚期，當(dāng)牛頓發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和引力定律時(shí)，牛頓定律非常清晰地闡述了行星軌道的形態(tài)。

乍看上去似乎只要應(yīng)用牛頓定律，就能計(jì)算出任何一組相互間存在引力作用的物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以是三體、四體或者任意數(shù)，只要知道起始狀態(tài)，通過(guò)萬(wàn)有引力定律，一定可以把所有物體的任意位移計(jì)算到任意的精確程度。

龐加萊在讀博士期間就已經(jīng)開(kāi)始研究太陽(yáng)系中的多體問(wèn)題，當(dāng)他看到這則通告，毫不猶豫便選擇了這個(gè)問(wèn)題，他進(jìn)展迅速，并完成以任意精度計(jì)算三體的運(yùn)動(dòng)軌跡，雖然這只解決了多體問(wèn)題當(dāng)中的三體情況，但仍征服了評(píng)委，得到這一賽事的獎(jiǎng)勵(lì)，且他的解答論文也被刊登在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上。

不幸的是，很快他發(fā)現(xiàn)在證明的關(guān)鍵地方，忽略了數(shù)學(xué)函數(shù)的幾何行為的一種微妙可能性，因此他對(duì)于三體問(wèn)題的解答是錯(cuò)誤的。龐加萊自費(fèi)找回了已經(jīng)被發(fā)放的雜志，并且更改了他的結(jié)論——從微積分的角度而言，萬(wàn)有引力影響下相互作用的三體問(wèn)題沒(méi)有可解析的積分解，這暗示著含有更多數(shù)目的多體問(wèn)題也是無(wú)解的。

以上兩視頻展示了不同初始條件下的三體運(yùn)動(dòng)，可以直觀(guān)發(fā)現(xiàn)它們的運(yùn)動(dòng)十分混亂、無(wú)序，且在某時(shí)刻會(huì)因?yàn)橐椆脑虮桓咚購(gòu)楅_(kāi)。若用略為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言表述其之所以無(wú)法被預(yù)測(cè)的原因，是因?yàn)槊枋鏊鼈兊姆匠虩o(wú)法涵蓋和控制計(jì)算中細(xì)微的不確定性，即任何小數(shù)量級(jí)的誤差都會(huì)導(dǎo)致全然不同的運(yùn)動(dòng)軌跡，這就是混沌的特性。

也正是因此，三體文明才會(huì)選擇對(duì)地球發(fā)起戰(zhàn)爭(zhēng)，而不是發(fā)展科技預(yù)測(cè)三顆太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，因?yàn)槿魏斡^(guān)測(cè)或是計(jì)算上的微小誤差，會(huì)導(dǎo)出極具差異性的運(yùn)動(dòng)軌跡，也就是摧毀了預(yù)測(cè)的能力。

三、蝴蝶效應(yīng)：其實(shí)人家叫 " 對(duì)初始條件的敏感性 " 啦

混沌呈現(xiàn)出系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感性，即同一系統(tǒng)，在初始條件有細(xì)微差異的前提下，會(huì)導(dǎo)出兩種完全不同的發(fā)展情況，其實(shí)也就是我們熟知的蝴蝶效應(yīng)：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀會(huì)在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。

拿洛倫茲系統(tǒng)來(lái)舉例，如下面的動(dòng)圖所示，即使一開(kāi)始兩個(gè)點(diǎn)相距很近，以至于運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間我們都看不出原來(lái)是兩個(gè)點(diǎn)，但隨著時(shí)間推移，兩個(gè)點(diǎn)儼然開(kāi)始走起各自的軌道，且兩條軌道毫不相關(guān)，唯一的相似之處便是被限制在一定的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，而這個(gè)是該系統(tǒng)兩個(gè)吸引子的影響。洛倫茲系統(tǒng)遵從的運(yùn)動(dòng)規(guī)則由以下三個(gè)方程決定：

至于如何衡量一個(gè)系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感性，依靠的就是李雅普諾夫指數(shù)，它是用來(lái)描述兩個(gè)點(diǎn)相互遠(yuǎn)離的速度。如下圖所示的一個(gè)系統(tǒng)中的兩條軌道：

設(shè)初始時(shí)刻，兩點(diǎn)的距離為，t 時(shí)刻兩點(diǎn)的距離變?yōu)椋覀冊(cè)倭?t 時(shí)刻的距離約等于初始時(shí)刻的距離乘以一個(gè)隨時(shí)間指數(shù)增加的值，即：

其中即為李雅普諾夫指數(shù)。將等號(hào)左右兩邊取對(duì)數(shù)，可得如下形式的公式：

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)該式的形式與直線(xiàn)的斜截式、相同，所以此時(shí)我們得到的圖將會(huì)成為一條直線(xiàn)。

我們發(fā)現(xiàn)李雅普諾夫指數(shù)就是系統(tǒng)實(shí)際曲線(xiàn)的近似直線(xiàn)的斜率，由此，我們便可以得到系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)。

同時(shí)，我們?cè)倩氐蕉x李雅普諾夫指數(shù)的公式，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)其為正時(shí)，因

為一定值，故會(huì)以指數(shù)速度增加，換言之，系統(tǒng)中兩點(diǎn)會(huì)以指數(shù)速度分離，也就是進(jìn)入兩條毫不相關(guān)的軌道。

而對(duì)于系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)混沌，可以從最大李雅普諾夫指數(shù)是否大于零非常直觀(guān)地進(jìn)行判斷——正李雅普諾夫指數(shù)，意味著在系統(tǒng)相空間中，無(wú)論初始時(shí)刻兩點(diǎn)距離多么靠近，其間距都會(huì)隨著時(shí)間成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無(wú)法預(yù)測(cè)，這也就是我們所說(shuō)的混沌現(xiàn)象，而李雅普諾夫指數(shù)的大小，暗示著兩點(diǎn)分開(kāi)的速度，也就是系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的速度，或者也可以說(shuō)系統(tǒng)不再能被預(yù)測(cè)的速度。

此時(shí)再回過(guò)頭去看一些系統(tǒng)，根據(jù)其李雅普諾夫指數(shù)的大小，我們便能大致估計(jì)出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的程度。例如對(duì)于太陽(yáng)系各行星運(yùn)動(dòng)，我們能預(yù)測(cè)到 400～500 萬(wàn)年左右，對(duì)于天氣系統(tǒng)，我們能預(yù)測(cè)到 15 天左右，而對(duì)于混沌電路，則僅能預(yù)測(cè) 1 毫秒左右。

因此由于系統(tǒng)的非線(xiàn)性性質(zhì)，部分系統(tǒng)將面臨必然走向混沌的結(jié)果，故而我們不能僅通過(guò)觀(guān)測(cè)其在某一時(shí)刻的狀態(tài)與演化規(guī)律，就精確預(yù)測(cè)任意時(shí)刻后該系統(tǒng)的狀態(tài)。因此，就無(wú)須抱有一些不切實(shí)際的期待，比如希望天氣預(yù)報(bào)給出未來(lái)一個(gè)月的天氣情況。

四、對(duì)于混沌的最新研究

正如前文所講，多數(shù)非線(xiàn)性系統(tǒng)難以求解析解，因?yàn)橄噍^于線(xiàn)性系統(tǒng)，它不能分成幾個(gè)部分單獨(dú)求解，并重新整合。但自然界的很多復(fù)雜系統(tǒng)，如氣象變化、化學(xué)反應(yīng)、病毒感染、人口移動(dòng)、社會(huì)行為等，各部分會(huì)相互影響、合作或競(jìng)爭(zhēng)，也就是出現(xiàn)很多非線(xiàn)性作用，因此學(xué)會(huì)用整體的目光，關(guān)注系統(tǒng)中的復(fù)雜性與偶然性就顯得尤為重要。

混沌理論就是非線(xiàn)性科學(xué)中發(fā)展出的理論，它是關(guān)于系統(tǒng)從有序突然變?yōu)闊o(wú)序狀態(tài)的一種演化理論，是對(duì)不規(guī)則而又無(wú)法預(yù)測(cè)的現(xiàn)象及其過(guò)程的分析。

然而，混沌不是純粹的無(wú)序，而是不具備周期性變化和其他明顯對(duì)稱(chēng)特征的有序態(tài)，因此該理論可以為我們研究自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)中諸多現(xiàn)象的不確定性做出解釋與分析。與此同時(shí)，該理論延展出的如何控制或利用混沌現(xiàn)象的研究，還被應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、非線(xiàn)性電路、天體力學(xué)、非線(xiàn)性機(jī)械故障診斷系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域，向我們展示了其廣闊的發(fā)展前景。

本文內(nèi)容整理自北京師范大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)國(guó)際科學(xué)中心劉宇老師的直播：動(dòng)力系統(tǒng)分析：" 三體 " 運(yùn)動(dòng)為什么不能精確預(yù)測(cè)？本文來(lái)自微信公眾號(hào)：集智俱樂(lè)部 （ID：swarma_org），作者：劉宇，整理：董佳欣，編輯：鄧一雪，原文標(biāo)題：《如何預(yù)測(cè)混沌？從羅密歐與朱麗葉的戀愛(ài)動(dòng)力學(xué)，到三體問(wèn)題》